Polyèdres Archimédiens

 

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Pour dénombrer des polyèdres non Platoniciens, il faut développer la relation d'Euler F + S = A + 2. En effet, appelles F3 le nombre de triangles, F4 le nombre de carrés, F5 le nombre de pentagones, F6 le nombre d'hexagones et ainsi de suite. De la même manière, appelles S3, S4, S5, S6,... le nombre de sommets communs respectivement à 3, 4, 5, 6... arêtes. Par définition le nombre total de faces F et de sommets S vaut:

F = F3 + F4 + F5 + F6 +...     et      S = S3 + S4 + S5 + S6 +...

Comptes maintenant les arêtes à partir des faces. Chaque arête étant commune à deux faces et chaque p-gone contenant p arêtes tu as:

A = ½(3×F3 + 4×F4 + 5×F5 + 6×F6 +...)

Mais tu pourrais tout aussi bien compter ces mêmes arêtes à partir des sommets. Chaque arête liant 2 sommets entre eux, et q arêtes se rencontrant en chaque sommet, tu as aussi:

A = ½(3×S3 + 4×S4 + 5×S5 + 6×S6 +...)

En fait rien ne t'empêches également de commencer à compter les arêtes en considérant les faces, puis à partir d'un certain moment de finir en considérant les sommets. Donc pour toute fraction f comprise entre 0 et 1 tu auras également:

A = f/2(3×F3 + 4×F4 + 5×F5 +...) + (1-f)/2(3×S3 + 4×S4 + 5×S5 +...)

Si tu appliques maintenant la relation d'Euler, tu auras pour tout polyèdre convexe:

(2 - 3f)×F3 + (2 - 4f)×F4 + (2 - 5f)×F5 + (2 - 6F)×F6 + ...

+ (3f - 1)×S3 + (4f - 2)×S4 + (5f - 3)×S5 + (6f - 4)×S6 +... = 4

Comme tu es maître de la valeur de f, cette relation te permet de faire beaucoup de choses.

Supposons par exemple que tu cherches tous les polyèdres qui ont le même nombre de faces F. Il te suffit de faire f = 0 et tu sauras que les sommets doivent être tels que:

S3 + 2×S4 + 3×S5 + 4×S6 +... = 2F - 4

A l'inverse pour avoir tous les polyèdres ayant le même nombre de sommets S, tu fais f = 1 et tu sauras que les faces doivent être telles que:

F3 + 2×F4 + 3×F5 + 4×F6 +... = 2S - 4

Si tu veux en revanche que les faces soient toutes exactement p-gonales, alors il faut que F3 = F4 = F5 = F6 = ... = 0, sauf pour la valeur de p choisie. Afin de dénombrer tous les polyèdres de ce type, il faut de plus que le nombre de p-gone Fp n'intervienne pas, ce qui est facilement obtenu en annulant le coefficient correspondant, soit (2 - p×f) = 0, c'est à dire qu'il faut choisir pour f la valeur 2/p. Ainsi avec f = 2/3, tu peux recenser la famille des deltaèdres, c'est à dire que tous les polyèdres ayant des faces triangulaires équilatérales doivent satisfaire à la relation:

15×S3 + 17×S4 + 19×S5 +... = 18

En fait les gens sont généralement plutôt intéressés par dénombrer les polyèdres qui tous leurs sommets équivalents, c'est à dire ceux pour qui S3 = S4 = S5 = S6 = ... = 0, sauf pour une valeur q particulière. Là aussi, afin que le nombre de sommets soit quelconque, il suffit de choisir une valeur de f annulant le coefficient de Sq, soit (2 - q + f×q) = 0, c'est à dire f = 1 - 2/q. C'est de cette manière qu'il est possible de démontrer qu'il n'existe que 13 polyèdres semi-réguliers en faisant varier la valeur de q depuis 3 jusqu'à 6.

Pour q = 3 on obtient la famille des polyèdres tri-connectés qui comprend 3 polyèdres réguliers ou Platoniciens (tétraèdre, cube et dodécaèdre) et 7 semi-réguliers (Archimédiens obtenu par troncature des réguliers et de deux autres Archimédiens). On obtient aussi une infinité de prismes.

Pour q = 4 on obtient la famille des polyèdres tétra-connectés qui comprend 1 polyèdre régulier (octaèdre) et 4 semi-réguliers (cuboctaèdre et icosidodécaèdre accompagnés de leur version rhombique). On obtient aussi une infinité d'antiprismes.

Pour q = 5 on obtient la famille des polyèdres penta-connectés qui comprend 1 polyèdre régulier (icosaèdre) et 2 semi-réguliers (cube et dodécaèdre adoucis).

Les polyèdres hexaconnectés (q = 6) n'existent pas en accord avec le fait que six triangles équilatéraux partageant un même sommet forment un objet plan et qui ne peut donc pas se refermer sur lui-même.

undercon.gif (4369 octets)Cette page a été mise à jour le 30/07/99.