Mouvement brownien

 

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L'existence des atomes et des molécules peut être démontrée de manière très simple. Tu peux bien sûr simplement regarder le ciel, mais une expérience sera plus convaincante. Prends des particules très fines et très légères (le pollen des plantes fait très bien l'affaire) et disperses les au dessus d'un récipient rempli plein d'eau. Prends ensuite un microscope et tu verras que les particules de pollen sont loin d'être immobile, mais suivent des trajectoires très tortueuses à peu près comme ceci:

Sur le plan mathématique, la seule façon de décrire ces trajectoires est de considérer des fonctions continues partout (tu n'as jamais besoin de lever ton crayon pour dessiner la trajectoire) mais dérivables nulle part (la trajectoire présente des angles à toutes les échelles d'observation). Or justement la vitesse étant la dérivée de la position en fonction du temps, tu conçois que définir une vitesse à partir de telles trajectoires est un véritable casse-tête. Ceci doit évidemment te faire penser à ce qui arrive dans un atome, où là aussi il est impossible de définir la vitesse de l'électron. De fait ces mouvements apparemment désordonnés sont peut être la signature visible à notre échelles des incertitudes quantiques...

Oui, j'ai bien dit apparemment désordonné. Car comme la trajectoire est continue, tu as encore le droit de considére 2 choses: la distance parcourue entre deux angles (libre parcours moyen L) et la distance rectiligne entre le point de départ et le point d'arivée (déplacement moyen X). La loi du mouvement brownien établie par le grand Albert Einstein s'intéresse à la variation de R en fonction du temps.

Il suffit pour cela d'introduire le coefficient de diffusion D qui lie le nombre de particules traversant une surface unitaire par unité de temps (flux F m-2.s-1) à la différence de concentration DN (m-3) qui existe entre deux points séparés d'une distance Dx: F = D×(DN/Dx). Physiquement ce coefficient de diffusion D représente l'aire balayée par la particule par unité de temps (m2.s-1). Considères donc deux sections S' et S" d'aire A d'un cylindre plongé dans un milieu contenant un gradient de concentration dans la direction x, c'est à dire tel que la concentration en S' (N') soit supérieure à la concentration en S" (N"):

Comme par hypothèse N' > N" les particules vont avoir tendance à se déplacer du milieu le plus concentré vers le milieu le plus dilué, c'est à dire de S' vers S". Tu veux donc savoir, à l'instar de ce cher Albert, le temps t que mettront les particules de matière pour traverser la tranche de longueur X, séparant les deux sections S' et S". Il te faut pour cela évaluer le nombre total de particules P contenues dans le volume S.

    * Le nombre total de particules contenue dans le volume à traverser S vaut A×(N' - N")X, avec statistiquement autant de particules qui vont vers la gauche que de particules se déplacant vers la droite. A tout moment, seulement la moitié des particules auront donc pu diffuser dans le sens S' ® S" et donc P = A×(N' - N")X/2.

    * Ce même nombre de particules peut aussi être obtenu à partir du flux   F, fonction du coefficient de diffusion D: P =   F×A×t = D×(N' - N")×A×t/X.

La matière devant se conserver A×(N' - N")X/2 = D×(N' - N")×A×t/X, ce qui donne la relation cherchée: X2 = 2D×t, c'est à dire que le déplacement moyen de la particule varie comme la racine carrée du temps écoulé. Telle  est la signature caractéristique du mouvement brownien des atomes et des molécules.

undercon.gif (4369 octets)Cette page a été mise à jour le 10/09/99.