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Peut-on dénombrer les polyèdres? Oui, mais c'est une tâche d'autant plus difficile que les faces sont moins régulières... Voici quelques méthodes simples à comprendre et qui te permettront de soulever un petit coin du voile.

arrow.gif (5402 octets)Par exemple, voici une preuve dûe au mathématicien grec Euclide, qu'il ne peut exister que cinq et seulement cinq polyèdres réguliers (polyèdres dont toutes les faces sont des polygones réguliers de même nature). Tu te rappelles sûrement que pour démontrer la formule magique, on avait fait appel au fait que la somme des angles internes d'un polygone à n côtés est juste égale à (n-2) fois 180°. Eh bien, cette relation va encore nous servir, de sorte que tu n'as de nouveau à retenir.

Un polygone régulier ayant p côtés aura ses p angles internes tous égaux entre eux à une même valeur a = (p - 2)×180°/p. Supposes que tu veuilles que q faces polygonales se rencontrent en un même sommet. Si tu veux former un polyèdre tridimensionnel, il faut absolument que la somme de tous les angles internes qui se rencontrent en un même sommet soit strictement inférieure à 360°. Si la somme est supérieure, cela veut dire que certains polygones se chevauchent, et si elle est exactement égale à 360°, ton objet est forcément tout plat et ne pourra jamais se refermer sur lui-même, comme le font tous les polyèdres!!! Donc on doit toujours q×a < 360°. D'après la valeur de a donnée plus haut, cela est équivalent à dire que q×(p - 2)×180 < 360×p, ou encore que (p - 2)×(q - 2) < 4. Maintenant, p et q sont des nombres entiers a priori quelconques mais au moins égaux à 3, car un polygone possède au moins 3 côtés (p > 2) et qu'un sommet est formé par la rencontre d'au moins 3 polygones (q > 2). Oui, mais le problème, c'est la produit (p - 2)×(q - 2) doit lui toujours rester inférieur à 4!!! Il ne reste donc plus qu'à dénombrer les cas possibles. Il est facile de voir que si p ou q dépassent la valeur 5, l'inégalité ne pourra être jamais satisfaite. Les seules valeurs de p et q possibles sont donc celles comprises entre 3 et 5. Comme p et q jouent un rôle complètement symétrique dans cette affaire, on peut se raisonner sur le nombre de côtés p.

Si p = 3, alors les seules valeurs possibles de q seront 3 (tétraèdre [3,3] qui est son propre dual car p = q), 4 (octaèdre [3,4]) et 5 (icosaèdre [3,5]). Si p = 4 ou 5, q ne pourra prendre que la valeur 3. Le cube [4,3] dual de l'octaèdre [3,4] et le dodécaèdre [5,3] dual de l'icosaèdre [3,5] terminent donc la série des polyèdres réguliers.

smilea.gif (1127 octets)Voilà, rien de bien sorcier. Si maintenant tu lèves la restriction que tous les polygones réguliers doivent être du même type, tu trouveras un nombre un peu plus élevé de polyèdres (13 exactement) et qui était déjà tous connus au temps d'Archimède. Si la démonstration t'intéresses, en voici une parmi bien d'autres...

undercon.gif (4369 octets)Cette page a été mise à jour le 03/08/99.