Distribution des vitesses

 

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Jets moléculaires

La définition même de la température te permets de définir très simplement la vitesse quadratique moyenne vquad d'une particule de masse m soumise à une température T:

où k désigne la constante de Botzmann. La dernière racine carrée s'applique dans le cas où la particule est une molécule de masse molaire M (kg.mol-1). On utilise alors, en lieu et place de la constante de Boltzmann k, la constante des gaz parfaits R, égale au produit de k par le nombre d'Avogadro NA: R = k×NA = 8,3144 J.K-1.mol-1 ~ 82 cm3.atm.K-1.mol-1. C'est ainsi que tu peux te rendre compte que la molécule de dioxygène (M = 32 g.mol-1) que tu viens juste de respirer a pénétré tes narines à la vitesse d'une balle de fusil:

Bien, mais cette vitesse ne s'applique qu'à un très grand nombre N de particules. Y a-t-il un moyen d'accéder à la vitesse individuelle de chaque molécule contenues dans 1 litre de gaz? Non bien sûr car il faudrait pour cela établir une liste longue de 1024 lignes! A raison de 100 lignes par page recto-verso, de 1000 pages par livre, d'un million de livres par bibliothèque, il te faudrais disposer d'au moins 10.000 milliards de bibliothèques! L'informatique alors? Sachant qu'il faut 4 octets pour stocker un nombre réel l'informatique, il te faudrais une mémoire de 250.000 milliards de Go!!!

Impensable! Il te faut donc limiter tes ambitions et te contenter de savoir combien de particules auront une vitesse comprise dans un intervalle [v, v+Dv] étroit de vitesse. La réponse a cette question est aisée, et voici la loi trouvée au XIXème par J.C. Maxwell qui répond à ta question:

La variable x désigne le rapport entre l'énergie cinétique K de la particule et l'énergie d'agitation thermique. N(v) est le nombre de particules ayant la vitesse v à la température T et vquad la vitesse quadratique moyenne à cette température. Mais peut être n'aimes tu pas les expressions mathématiques. Alors voilà le résultat sous forme graphique:

Tu vois que plus la température s'élève, plus la courbe s'étale. A toute température il y aura donc des particules qui pourront soit aller très vite, soit au contraire aller très lentement. La plupart auront cependant à peu de choses près la même vitesse, d'autant mieux définie que la température sera plus basse.

La loi précédente qui s'appelle une fonction de distribution s'avère très utile si tu souhaites obtenir d'autres informations sur ton système. Par exemple quelle sera la vitesse la plus probable vpp (maxima des courbes précédentes) pour une température T donnée? Si tu sais dériver les fonctions, tu n'auras pas de mal à vérifier que:

Une autre information importante est la vitesse moyenne <v> des particules en mouvement. Eh bien, si tu sais intégrer les fonctions, tu peux t'amuser à montrer que:

Comme toute variable fonction d'une courbe de distribution, il n'y a pas de valeur unique, mais toute une gamme de moments µn:

qui décrivent de manière de plus en plus fine la courbe au fur et à mesure que n augmente. Ainsi le moment d'ordre zéro µ0 correspond au nombre total d'objets, le moment d'ordre un µ1 à la valeur moyenne de la variable, le moment d'ordre deux µ2 permet de définir l'écart à la moyenne, celui d'ordre trois µ3 l'asymétrie de la distribution, etc... A titre d'exercice, je te laisses calculer les moments d'ordre 0 et 2 de la loi de distribution des vitesses. Une fois ces valeurs obtenues, tu t'apercevras probablement que la réponse était en fait évidente!!!

undercon.gif (4369 octets)Cette page a été mise à jour le 14/09/99.