Équation d'état

 

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Considères une particule de masse m et de vitesse v en train de se déplacer en direction de la paroi (figure de gauche):

La vitesse de la particule a ici deux composantes, l'une vers la droite (axe x) et l'autre vers le bas (axe y). Comme tu peux le constater, la composante y reste orientée dans la même direction avant et après le choc avec la paroi. L'impulsion est donc déjà conservée selon y. En revanche, dans la direction x la présence de la paroi oblige la particule à renverser sa vitesse (rebond). Chaque choc avec une particule transmet donc à la paroi une impulsion p = 2×m×|vx|. Si maintenant tu connaîs le nombre total N de particules, il te restes à définir celles qui durant un laps de temps donné Dt, seront suffisamment près de la paroi pour rentrer en collision avec elle. La figure de droite te montre comment procéder. Pendant le laps de temps Dt, une particule parcourt la distance vxDt. Pour une aire donnée A, seules les particules présentes dans le volume u = A×vxDt pourront donc communiquer leur impulsion à la paroi. Mais attention!!! Dans ce volume u, il y en moyenne autant de particules qui se dirigent vers la paroi que de particules qui s'en éloignent. Ceci explique le facteur ½ qu'il faut affecter au produit u×(N/V) qui représente la fraction de particules présentes dans le volume u.

Voilà c'est terminé. L'impulsion totale communiquée à la paroi sera donc le produit du nombre de chocs par l'impulsion transmise à chaque choc:

Dp = nchocs×p = N×[m×(vx2Dt)×A]

Tout le raisonnement a été mené dans la direction x. Or pour satisfaire au principe de conservation du moment angulaire, il ne doit pas y avoir de direction privilégiée dans l'espace. Le calcul que tu viens de faire est donc aussi valable dans les autres directions y (haut/bas) et z (devant/derrière). Mathématiquement cette isotropie de l'espace se traduit par la relation:

où les crochets désigne des valeurs moyennes calculées sur un temps long par rapport aux mouvements des particules. Il ne reste donc plus qu'à remplacer vx2 par sa valeur moyenne <v2>/3 et diviser par le tout par l'aire et le laps de temps considéré pour trouver la pression macroscopique:

Le résultat très simple obtenu te montre que la pression à l'équilibre est juste 2/3 de l'énergie cinétique par unité de volume!

Tu viens donc de trouver ta première loi physique très générale à partir d'un raisonnement microscopique. Il ne te restes plus qu'à introduire la notion de température:

pour trouver cette loi très générale que le produit de la pression par le volume est toujours proportionnel au produit du nombre de particules par la température.

Dans le cas d'une matière gazeuse (les particules considérées sont alors des molécules), cette équation s'appelle "l'équation des gaz parfaits". On l'écrit alors P×V = n×RT, où n désigne le nombre de moles et R la constante des gaz parfaits égale au produit du nombre d'Avogadro par la constante de Boltzmann: R = NA×k. Mais comme le raisonnement précédent te le montres, cette équation s'applique à toute matière en mouvement et pas uniquement à la matière gazeuse. La seule restriction est qu'il n'y ait que des transferts d'impulsion lors des chocs entre particules (type boules de billard). Si d'aventure le choc implique aussi un transfert d'énergie, ou une variation du moment angulaire, alors tout s'écroule, et il faut reprendre le calcul à zéro.

undercon.gif (4369 octets)Cette page a été mise à jour le 10/09/99.