Fermions et bosons

 

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C'est la notion d'indiscernabilité par échange qui se cache derrière le principe d'exclusion de Pauli. La danse du vin t'as sûrement déjà convaincu qu'il fallait faire une rotation de 4p pour laisser invariante une fonction d'onde incluant le spin et décrivant un évenement spatio-temporel. Concentres donc toi sur la partie qui dépend uniquement du nombre quantique de spin ms: Y µ eiS/h µ eims×j, et exécute une rotation de 4p pour obtenir un état Y' forcément identique à l'état de départ Y:

j = j + 4p Þ Y' = Y Û e4ipms = 1 Û 4pms = ±2kp Û ms = ±k/2

Contrairement au moment angulaire orbital l, le moment cinétique de spin peut donc être entier (k = 2n) ou demi-entier (k = 2n+1). Les particules vont ainsi être réparties en deux catégories selon que leur spin est entier (bosons) ou au contraire demi-entier (fermions).

La nécessité de faire une rotation de 4p pour laisser la fonction d'onde invariante permet d'associer la rotation de 2p à un processus de permutation ou d'échange. En effet si on effectue deux permutations successives sur un couple d'objets on retrouve bien le couple de départ (2×2p = 4p). Soit donc deux fermions identiques en tout point et ne pouvant différer que par la valeur du spin: ms = ±(2n + 1)/2. Effectues une permutation des deux fermions, ce qui revient à ajouter un déphasage de 2p à la fonction d'onde. Deux cas sont possibles:

Dans les deux cas la fonction d'onde après permutation s'écrit:

y µ eims×j Þ y' = y×e[±(2n + 1)ip] = -y

Maintenant dans le cas (a), on obtient après l'échange un état indiscernable de l'état de départ. L'amplitude de probabilité F d'un tel état est donc égale à la somme des amplitudes individuelles: F = y + y' = y - y = 0. La probabilité correspondante est donc rigoureusement nulle: FF* = 0. Dans le cas (b) par contre, l'état après permutation est discernable de l'état de départ. La probabilité correspondante est donc: FF* = yy* + y'y'* = 2×yy* ¹ 0. Il découle de ceci, qu'il est rigoureusement impossible de trouver deux fermions (spin demi-entier) avec les mêmes nombres quantiques (n, l, m, ms) conformément au principe d'exclusion.

Avec les bosons (ms = ±n, avec n entier) les choses sont complètement différentes. Après permutation, la fonction d'onde s'écrit:

y µ eims×j Þ y' = y×e[±2nip] = y

Dans le cas (a) on a maintenant F = y + y' = y + y = 2×y, soit une probabilité résultante FF* = 4×yy*, contre FF* = yy* + y'y'* = 2×yy* pour le cas (b). L'état avec tous les nombres quantiques égaux est maintenant 2 fois plus probable que l'état où ils sont différents. Contrairement au fermions, l'état de probabilité maximum est donc celui où tous les nombre quantiques sont égaux.

De manière générale, toutes les particules associées à un rayonnement et qui véhiculent donc une force: photon (interaction électromagnétique), graviton (interaction gravitationelle), bosons vecteurs W± et Z° (interaction faible), pions (p±, p0) et gluons (interaction forte), sont des bosons et se caractérisent par un spin entier (égal à 1 pour les photons et les gravitons). A l'inverse, toutes les particules qui décrivent des particules matérielles (électron, proton, neutron, neutrino, etc...) ont un spin demi-entier (égal à ½ pour des particules élémentaires).

undercon.gif (4369 octets)Cette page a été mise à jour le 06/10/99.