La formule magique

 

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Relation d'Euler
Dénombrement

A quoi reconnaît-on un polyèdre? Combien y en a-t-il? Sont-ils tous forcément convexes? Regarde par exemple cette page oueb (Henry Chasey's Polyhedra Model Collection) et tu verras l'incroyable diversité de ce petit monde. Si tout cela t'intéresse, il te faut absolument connaître la formule magique qui permet de s'y retrouver dans cette débauche de formes. Le Maître du Donjon la connaît par coeur, ce qui explique que notre ami n'a pu la trouver dans les différents grimoires qui traînaient sur la table de travail. Il te faut donc la retrouver par toi-même, et voici quelques indications pour la trouver:

1. Fabrique le maximum de polyèdres. Si tu trouves cela trop difficile, limite toi aux cinq polyèdres dits Platoniciens (tétraèdre, octaèdre, cube, icosaèdre et dodécaèdre) ou procure toi un exemplaire des cinq dés du jeu de rôle Donjons&Dragons qui sont des reproductions fidèles de ces cinq polyèdres. Pour les polyèdres Archimédiens (les treize autres) ce sera plus difficile d'en trouver dans le commerce, mais peut-être en trouve-t-on dans certains magasins de jeux, ou certains magasins spécialisés dans le matériel scientifique. En désespoir de cause, tu peux avoir recours à la solution du pauvre qui consiste à rester à deux dimensions. Imagine en effet que ton polyèdre soit fabriqué avec la même matière que ton chewing gum. Pose le polyèdre sur l'un de ses faces et écrase le sans remords comme une crêpe. Les faces vont bien sûr être fortement déformées par la pression mais tu ne changeras par cette opération, ni le nombre de faces, ni le nombre d'arêtes et ni le nombre de sommets. Voici par exemple le résultat que tu devrais observer si tu transformais en crêpe tes dés de D&D. Pour trouver la formule magique, tu peux travailler sur ces projections (dites de Schlegel pour les matheux) aussi bien que sur les polyèdres réels.

2. Pour chaque polyèdre compte, son nombre de faces F, de sommets S et d'arêtes A. Tu remarqueras sûrement que le nombre d'arêtes est toujours bien plus grand que le nombre de faces ou de sommets. Bien, mais qu'en est-il exactement si tu cherches à comparer le nombre d'arêtes A au nombre total de faces et de sommets (F + S)? Tu as sûrement trouvé la solution, mais auras-tu le courage de démontrer que cette formule valable pour les quelques polyèdres que tu as sous la main s'applique à tous les polyèdres convexes, sans exception? Cela a été fait par le mathématicien L. Euler en 1750. Si les mathématiques t'intéressent voici comment faire cette démonstration. Si par contre tu hais les maths, il vaut mieux que tu retournes d'où tu viens...

undercon.gif (4369 octets)Cette page a été mise à jour le 09/08/99.