Libre parcours moyen

 

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La théorie cinétique des fluides permet d'accéder à la fréquence des collisions Z = DNc/Dt (nombre de chocs par unité de temps) et donc au libre parcours moyen L = <v>/Z (vitesse moyenne rapporté au nombre de collisions) des particules de matière soumises à l'agitation thermique et donc au mouvement brownien. Le libre parcours moyen L se définit comme la distance parcourue par une particule entre deux chocs successifs. Pour l'évaluer, on fait appel à la notion de cylindre de collision:

Soit d le diamètre des particules se déplaçant en ligne droite entre deux chocs. Choisis une particule A et cherches à savoir si les particules environnantes peuvent entrer en collision avec elle. Sur le dessin, les oui indiquent que le choc va avoir lieu et les non que les particules ne pourront pas se rencontrer. Tu as sûrement trouvé le critère de collision. Il suffit que le centre de chaque particule soit contenu dans un cylindre de rayon d pour que le choc ait lieu. Dès que le centre se trouve en dehors de ce cylindre, la collision ne peut avoir lieu. Chaque particule se caractérisera donc par sa surface de choc s = p×d2, qui seront fonction de sa taille propre.

Maintenant pendant un laps de temps Dt, une particule parcourt une distance l = v×Dt et donc seules les particules contenues dans le cylindre de volume u = s×l = p×d2×v×Dt iront frapper la particule cible. Si N désigne le nombre total de particules contenues dans un volume V, le nombre total de chocs DNc se produisant pendant l'intervalle de temps Dt sera donné par le produit du nombre total de particules N et de la fraction volumique occupée par le cylindre de collision. Toutefois comme la particule A n'est pas immobile, la vitesse qu'il faut prendre en compte pour calculer la longueur du cylindre n'est pas la vitesse moyenne des particules <v> mais bien leur vitesse relative moyenne <vrel> qui dépend de la masse réduite µ:

La loi de distribution des vitesses de Maxwell te permets d'accéder à cette vitesse relative moyenne qui ne dépend que de la température T du milieu et de la masse m des particules qui entrent en collision:

La féquence des collisions Z sera donc:

c'est à dire augmentera avec la densité en particules (N/V), le diamètre de choc d et la température T et diminuera avec la masse. Quand au libre parcours moyen L:

il varie avec la densité et le diamètre des particules mais pas avec leur masse ou avec la température car il fait intervenir le rapport de deux vitesses moyennes (l'une absolue lors du déplacement entre deux chocs et l'autre relative pendant la collision). Si de plus les interactions entre particules sont très faibles (chocs du style "boule de billard"), alors tu peux relier la densité en particule (N/V) à la pression P, au moyen de l'équation d'état P×V = N×kT, ce qui conduit à:

Les sections efficaces de choc s = pd2 étant typiquement comprises entre 0,1 et 1 nm2 (He...Xe = 0,14...0,70; H2 = 0,25; O2, N2 = 0,43; CO2 = 0,52 et C6H6 = 0,88), l'équation précédente te révèles que dans un air immobile et calme (P = 1 atm) à une température de 25°C (T = 298K) les molécules d'air parcourent entre deux chocs environ 200 fois leur diamètre, et qu'elles se cognent gaillardement les unes sur les autres environ 10 milliards de fois par seconde! Imagines donc un peu le chaos et le tohu-bohu qui se déroule, là sous tes yeux et à l'intérieur de tes oreilles, sans même que tu t'en aperçoive.

undercon.gif (4369 octets)Cette page a été mise à jour le 14/09/99.