Théorème de Noether

 

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Il existe trois grandeurs fondamentales impulsion, moment angulaire et énergie qui se conservent. Un beau jour une matheuse, contemporaine d'Albert Einstein, qui s'appellait Emmy Noether s'est demandé s'il n'y avait pas quelque chose de fondamental derrière tout ça. Après beaucoup de maths, elle a pu ainsi mettre à jour le joli théorème que je te montres sous une forme graphique facile à comprendre:

Qu'est ce que ce triangle peut bien signifier? En bien un physicien qui s'appelait Hermann Weyl a eu le malheur de faire remarquer "qu'une chose est symétrique si, après avoir réalisé une certaine action, son apparence n'est pas modifiée". Il n'en fallait pas plus pour que l'esprit d'Emmy Noether se mette à bouillonner.

Le côté gauche du triangle est évident puisque de par la définition même de la symétrie de multiples actions conduisent à la même apparence. Si l'apparence reste la même alors que le système se modifie, c'est bien qu'elle se conserve dans la transformation.

Mais si l'apparence n'est pas modifiée, cela implique aussi que quelque chose devient relatif. Pas clair? Prends une bille parfaitement lisse et unicolore, montres la à un copain puis poses la devant lui sur une table. Dis lui maintenant de sortir de la pièce puis de rerentrer. Demandes lui de bien regarder la bille et de te dire si elle est dans la même orientation qu'avant son départ. Il sera bien évidemment incapable de te répondre, car pendant qu'il avait le dos tourné tu as très bien rester les bras croisés ou au contraire fait pivoter la bille sur elle même. Comme la bille est complètement symétrique, son orientation dans l'espace est un concept relatif à l'observateur et non à la bille elle-même. Cette relation entre symétrie et relativité est absolument incontournable et se trouve matérialisée par le côté droit du triangle.

La base du triangle matérialise le fait que conserver quelque chose signifie aussi perdre la connaissance d'autre chose. Dans l'exemple précédent, comme l'apparence de la bille est conservée, son orientation absolue ne peut plus être connue avec certitude et reste quelque chose de complètement indéterminé. Tu commences à saisir la généralité et donc l'importance de ce théorème? Non? alors cherches à l'appliquer aux trois choses qui se conservent en physique.

L'impulsion se conserve donc. Qu'est ce qui devient relatif? L'origine de l'espace bien sûr! Que tu choississes de faire de la physique ici à Strasbourg ou là-bas à Tokyo ne changera rien aux résultats que tu obtiendras. Quelle est l'opération de symétrie qui te feras aller de Strasbourg à Tokyo en conservant l'impulsion? Réponse: la translation spatiale. Pour l'impulsion, le théorème de Noether ressemble donc à ceci:

Maintenant la rotation est aussi une opération de symétrie spatiale. Que tu choisisses de faire de la physique orienté au nord ou au sud, ou bien à l'est ou à l'ouest ne changeras pas les résultats de tes expériences. L'orientation est donc bien relative entraînant la conservation du concept lié aux rotations spatiales, à savoir le moment angulaire:

Enfin tu n'est pas obligé obligé de te limiter à l'espace. Que tu fasses de la physique aujourd'hui ou demain ne doit avoir aucune influence sur ce que tu observeras. L'invariance par translation dans le temps rend l'origine du temps inobservable, assurant par la même la conservation de l'énergie:

Le centre de chacun de ces triangles te montres qu'à chaque fois qu'une opération de symétrie existe, il existe un principe d'incertitude entre la chose la chose conservée et la chose mesurant l'ampitude de la transformation. Il n'est donc pas exagéré de dire que les relations d'incertitude de la mécanique quantique prennent racine dans le théorème de Noether.

Tu trouves que j'exagère un petit peu? Alors peut être as-tu entendu parler de la conservation de la charge électrique? Si tu as bien pigé ce qui précèdes, le mot "conservation" doit immédiatement faire tilt. Tu ne seras donc pas outre mesure surpris d'apprendre qu'en mécanique quantique la phase d'une onde de matière est quelque chose de totalement relatif et que c'est bien l'invariance de la probabilité de présence par rotation de la phase qui est à l'origine de cette conservation:

Le plus marrant dans cette affaire c'est que la théorie de la relativité que l'on pas encore réussi à marrier avec la mécanique quantique découle aussi du théorème de Noether. En effet la forme même de la transformation de Lorentz suggère l'existence d'une opération de symétrie spatio-temporelle qui expliquerait la relativité de la vitesse et la conservation d'un autre type de moment angulaire que l'on appelle le spin:

Tout se passe donc comme si toute la physique se limitait à une seule chose: le théorème de Noether. Cela valait le coup de se fatiguer un petit peu non?

undercon.gif (4369 octets)Cette page a été mise à jour le 21/09/99.