Nombres complexes

 

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Un nombre complexe est un nombre à deux dimensions contenant une partie dite réelle a et une partie imaginaire b. Dans la pratique il est possible d'écrire z = a + i×b, où i est un nouveau nombre possèdant l'étrange propriété d'être égal à -1 lorsqu'on l'élève au carré: i2 = -1. Avant de me dire que tout ceci est parfaitement idiot, et qu'un carré est forcément quelque chose de positif, poses toi la question de savoir s'il n'existe pas dans la nature quelque chose possédant une telle propriété. Tu ne vois pas? Réfléchis bien et penses à une petite flèche dans un plan orientée dans une direction donnée. Tournes maintenant la flèche de 90° (multiplication par i). Quelle relation existe-t-il avec l'objet de départ? Aucune évidente puisque la direction de la flèche a changé. Tu écris donc:

i×Flèche = Nouvelle Flèche

Bien, tournes maintenant encore de 90° dans le même sens que précédemment. Que constates tu? Oui, la flèche est revenue sur l'axe de départ. Mais il y a quand même une différence, puisqu'elle pointe dans la direction opposée! Tu vas donc écrire:

i×(i×Flèche) = i2×(Flèche) = -(Flèche)

Simplifie par la flèche, que reste-t-il? Bon d'accord, tu préfères tourner de 90° dans l'autre sens (multiplication par -i) pour retrouver la flèche de départ. Cela ne t'avance guère puisque:

(-i)×(i×Flèche) = -i2×(Flèche) = (Flèche)

Simplifies de nouveau par la flèche. Pigé? une flèche orientée dans un plan est la matérialisation physique d'un nombre complexe. Le nombre i n'a donc rien d'imaginaire car il correspond à quelque chose de bien réel: une rotation de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre! Ils n'ont rien de compliqué non plus! Complexe signifie ici qu'il faut deux valeurs numériques complètement indépendantes l'une de l'autre pour caractériser de tels nombres et non une seule comme pour les nombres réels. Ceci dit les règles de calcul restent exactement les mêmes qu'avec les nombres réels, à la différence près que partout ou tu vois i2 il faut mettre -1 à la place.

De tels nombres sont très commodes. Avec eux, une équation du second degré a toujours 2 solutions, et ils te permettent de manipuler les fonctions trigonométriques très facilement grâce à l'identité remarquable:

eiq = cos q + i×sin q

qui se représente graphiquement de la manière suivante:

La quantité z* = a - i×b s'appelle le complexe conjugé et permet de transformer tout nombre complexe en nombre réel, grâce à ce bon vieux théorème de Pythagore: z×z* = (a + i×b)(a - i×b) = a2 + b2. L'angle q s'obtient quant à lui en écrivant que tg q = b/a.

Pour quelle raison je te parles de ces nombres complexes? Tout simplement parce que si tu veux comprendre la structure de la matière à petite échelle (mécanique quantique) où à grande échelle (théorie de la relativité), ce sont bien eux qu'il faut manipuler...

undercon.gif (4369 octets)Cette page a été mise à jour le 22/09/99.