Pavage de l'espace

 

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Une autre manière de classer les polyèdres, est de s'intéresser aux différentes manières de paver l'espace. A deux dimensions, avec des polygones réguliers, il n'y a que 11 solutions possibles. Parmi elles, 3 correspondent à des pavages qu'avec un seul type de polygone:

Tu noteras cependant qu'il est absolument impossible de paver le plan avec des pentagones ou des décagones réguliers. Imagines un peu ta maison avec un tel carrelage, tu passerais ton temps à te tordre les pieds.

Pour comprendre l'origine géométrique de ces limitations, reviens à la crêpe de Schlegel que l'on avait invoqué pour trouver la formule magique gouvernant le nombre de polyèdres:

schlegel.gif (4943 octets)

On avait vu que si désigne P le nombre de points appartenant au bord de la crêpe et I le nombre de points à l'intérieur de cette même crêpe. Le nombre total de triangles était forcément T = P + 2I - 2. Que se passe-t-il maintenant si je prend le barycentre de chaque triangle afin de diviser chacun d'eux en 3 nouveaux triangles? Eh bien j'augmente la valeur de I sans changer la valeur de P. Si je recommence cette opération encore et encore, la valeur de P ne va plus avoir d'importance et va devenir complètement négligeable par rapport à celle de 2I. A la limite j'obtiendrais donc un système de 2I triangles pavant le plan sans laisser d'interstices entre eux. Combien y a-t-il de côtés dans ce pavage? Eh bien chaque triangle possède 3 côtés qui sont partagés entre 2 triangles. Comme j'ai 2I triangles en tout, le nombre de côtés C sera: C = 2I×3/2 = 3I. Récapitulons, si j'ai n points dans un plan, je pourrais tracer à partir de ces points 3n traits de crayons pour former un système de 2n triangles. Si maintenant tu enlèves un côté de cet assemblage, le nombre de polygones diminuera aussi d'une unité. De proche en proche, en retirant ici ou là quelques côtés, tu peux donc passer d'un système de triangles pavant le plan, à un système de polygones quelconques, pavant eux aussi le plan de manière jointive.

Définissons nous le nombre de côtés q susceptibles de se rencontrer en un même point dans un assemblage de polygones quelconques. Quelle est la plus petite valeur possible de q? Si q = 0, c'est que tu souhaites aller jouer ailleurs. Si q = 1, c'est que tu es un incorrigible optimiste. Comment veux-tu paver le plan avec un système déconnecté d'allumettes? Si q = 2, c'est que tu es extrêmement courageux et patient. Il va te falloir en effet fabriquer un très très très long serpent et l'entortiller de telle manière à ce qu'il remplisse tout le plan. Impossible dis-tu? Que nenni! De tels monstres existent et tu peux en voir quelques uns si tu visites les pages consacrées aux objets tortueux, visqueux et gluants... Par contre à partir de q = 3, tu deviens raisonnable, et peux envisager sérieusement une future embauche comme artisan-carreleur.

Donc tu souhaites connaître tous les pavages de polygones tels que seulement trois côtés se rencontrent en un même point. Pas de problèmes! Si j'ai n points, il va me falloir tracer 3n/2 traits puisque chaque trait relie 2 points entre eux. Cela va me faire combien de polygones? Eh bien compares cette situation à celle de tout à l'heure, où l'on avait utilisé que des triangles: n points , 2n triangles et 3n côtés. Ici pour le même nombre de points n, il te faut maintenant seulement 3n/2 côtés. Il faut donc retirer 3n/2 côtés, et comme chaque côté enlevé fait chuter le nombre de polygones d'une unité, le nombre de polygones à l'arrivée sera: 2n - 3n/2 = n/2. Récapitulons, si q = 3 pour un système de n points, alors je devrais tracer 3n/2 traits qui définirons un système de n/2 polygones. Soit P3 la proportion de triangles (nombre total de triangles divisé par le nombre total de polygones), P4 la proportion de carrés, P5 celle de pentagones,...., et Pk celle de k-gones. On aura toujours la relation suivante:

3×P3(n/2) + 4×P4(n/2) + 5×P5(n/2)  +...+ k×Pk(n/2) = 2×(3n/2)

puisque chaque côté est commun à 2 polygones et qu'il y a en tout 3n/2 côtés. Divises le tout par la valeur qui n'a aucune importance, et tu obtiens la formule qui te permet de dénombrer les réseaux de polygones tri-connectés susceptibles de paver le plan:

3×P3 + 4×P4 + 5×P5 + 6×P6 +...+ k×Pk = 6

Un solution évidente est P3 = P4 = P5 = P7 = ... = Pk = 0 et P6 = 1, correspondant au pavage avec des hexagones réguliers évoqué plus haut. D'autres solutions impliquant plusieurs types de polygones réguliers sont toutefois possibles:

Celle de gauche (carrés-octogones) correspond à P4 = P8 = ½, celle du milieu (dodécagones-triangles) à P3 = 2/3, P12 = 1/3 et celle de droite dodécagones-hexagones-carrés) à P4 = 1/2, P6 = 1/3, P12 = 1/6. Il en existe bien d'autres (par exemple P5 = P7 = ½), mais dans ce cas les polygones ne peuvent plus être réguliers. Si l'on souhaite que tous les polygones soient réguliers, les possibilités dessinées sont les seules autorisées.

Le même raisonnement s'applique aux polygones tétra-connectés. Toujours avec n points il me faut maintenant tracer 4n/2 = 2n traits, et donc enlever 3n - 2n = n côtés de l'assemblage triangulaire conduisant à 2n - n = n polygone au total. Au niveau des proportions cela donne:

3n×P3 + 4n×P4 + 5n×P5  +...+ k×Pk×n = 2×(2n)

soit 3×P3 + 4×P4 + 5×P5 + 6×P6 +...+ k×Pk = 4

Là aussi, il existe une solution évidente P4 = 1, correspondant au pavage par des carrés. Les autres solutions régulières sont ici au nombre de 2:

Celle de gauche (triangles-hexagones) correspond à P3 = 2/3, P6 = 1/3 et celle de droite (triangles-carrés-hexagones) à P3 = 1/3, P4 = 1/2 et P6 = 1/6.

Passons aux polygones penta-connectés: n points impliquent 5n/2 traits, nécessitant le retrait de 3n - 5n/2 = n/2 côtés et donc la présence de 2n - n/2 = 3n/2 polygones:

3×P3(3n/2) + 4×P4(3n/2) + 5×P5(3n/2)  +...+ k×Pk(3n/2) = 2×(5n/2)

soit 3×P3 + 4×P4 + 5×P5 + 6×P6 +...+ k×Pk = 10/3

On remarque de suite, que si l'on utilise que des pentagones réguliers P5 = 2/3, il y aura donc forcément 1/3 de trous comme indiqué plus haut. Il faut donc autoriser plusieurs types de polygones. Si l'on utilise que des polygones réguliers, les solutions sont au nombre de 3:

Celle de gauche (triangles-hexagones) correspond à P3 = 8/9, P6 = 1/9 et il existe 2 solutions (carrés -triangles) correspondant à P3 = 2/3 et P4 = 1/3. Ce dernier exemple te montres que pour un même jeu de proportions, il peut y avoir plusieurs solutions possibles.

Enfin si à partir de n points on trace 6 traits, on aboutira forcément à un réseau triangulaire puisque 6n/2 = 3n. Il n'y a donc qu'une seule solution P3 = 1.

Le même raisonnement peut être mené à 3 dimensions pour chercher, quels sont les polyèdres réguliers ou semi-réguliers susceptibles de paver l'espace sans laisser de trous derrière eux. Le mathématicien Russe Fedorov a pu démontrer qu'il n'en existait pas plus de 5:

Tu noteras en particulier que le seul polyèdre régulier capable de paver l'espace est le cube, un résultat bien connu de ton petit frère...

undercon.gif (4369 octets)Cette page a été mise à jour le 09/08/99.