Relation d'Euler

 

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Puisque tu n'as pas froid aux yeux considère cette crêpe de Schlegel qui représente un polyèdre pris au hasard parmi tant d'autres:

arrow.gif (5402 octets)Maintenant tout ce que tu dois savoir c'est que la somme de tous les angles autour d'un point est égale à 360° et que la somme des angles internes d'un polygone à n côtés est juste égale à (n-2) fois 180°. Tu peux facilement t'en convaincre dans le cas du triangle (n = 3 Û 180°), du carré (n = 4 Û 360°), du pentagone (n = 5 Û 540°) et de l'hexagone (n = 6 Û 720°) par exemple.

Bien appelle maintenant P le nombre de sommets appartenant au bord de la crêpe et I le nombre de sommets qui sont à l'intérieur de cette même crêpe. Le nombre total de sommets S sera donc S = P + I. Les sommets de type P appartenant à un polygone à P côtés, la somme des angles internes doit valoir (P-2)×180°, tandis que la somme des angles autour de chaque sommet de type I vaudra I×360°. En additionnant ces deux chiffres on trouve un total G = (P + 2I - 2)×180°.

Ce nombre G permet de trouver automatiquement le nombre total de triangles T = P + 2I - 2, puisque la somme des angles d'un triangle est juste égale à 180°. Le nombre total de faces de ce polyèdre est donc F = T + 1 = P + 2I - 1, puisqu'il y a T triangles plus 1 polygone à P côtés.

Le nombre total d'arêtes A, ne peut quant à lui être égal à 3×T + P, car certaines arêtes sont partagées. Tu constates en effet aisément que chaque triangle appartenant au bord de la crêpe possède une arête en propre et deux qui sont communes à deux triangles. Ces P triangles externes fourniront donc (1 + ½ + ½)×P = 2P arêtes. Il reste alors T - P  = 2I - 2 triangles internes dont chaque côté appartient à deux triangles. Le nombre d'arêtes provenant des triangles internes sera donc de (½ + ½ + ½)×(2I - 2) = 3I - 3, soit un total A = 2P + 3I - 3.

 smilea.gif (1127 octets)C'est terminé!!! En effet la somme du nombre de faces et du nombre de sommets F + S = P + 2I - 1 + P + I = 2P + 3I -1, qui est juste la valeur de A augmentée de 2 unités. Comme le choix de P et de I est arbitraire, cette relation est donc valable pour tout polyèdre formé d'une face P-gonale et de 2I - 2 faces triangulaires. Et tous les autres alors??? Eh bien, pas de problèmes, car on peut dériver tout polyèdre convexe à partir d'un polyèdre formé d'une face P-gonale et de 2I - 2 faces triangulaires par retrait d'arêtes. Chaque fois que tu enlèves (A' = A - 1) une arête interne (AB par exemple), le nombre de faces diminue aussi d'une unité (F' = F - 1), alors que le nombre de sommets ne change pas (S = S'). Tu peux donc former autant de carrés, pentagones,..., que tu veux, tu auras toujours à l'arrivée F' + S' = A' + 2. Et si c'est une arête comme BC que tu enlèves? Alors, il te faut aussi enlever un sommet à la face P-gonale (S' = S - 1) car la caractéristique d'un polyèdre est que chaque sommet est commun à au moins 3 arêtes. Il y aura donc comme tout-à-l'heure une face de moins (F' = F' - 1) mais aussi deux arêtes en moins (A' = A - 2), celle que tu as retiré plus l'une de celles qui reliait le sommet disparu aux deux autres sommets de la face P-gonale. Tu vois, quoique tu fasses tu auras toujours F + S = A + 2.

Facile non??? Si tout ceci ne t'a pas posé de problèmes, tu peux donc essayer de comprendre, pourquoi il n'existe que 5 polyèdres réguliers (polyèdres Platoniciens), 13 semi-réguliers (polyèdres Archimédiens), 75 polyèdres uniformes, 92 polyèdres convexes (polyèdres de Johnson) ainsi qu'une infinité de prismes et d'antiprismes... Si par contre tu as trouvé cela trop difficile, il vaut mieux pour toi continuer à jouer avec ces objets magnifiques, et ne pas trop te préoccuper du pourquoi des choses. Tu reviendras à tout cela quand tu seras plus motivé...

undercon.gif (4369 octets)Cette page a été mise à jour le 30/07/99.