Transformation de Lorentz

 

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Que devient la transformation de Galilée lorsque l'on prend en compte les résultats de l'expérience de Michelson-Morley? Supposes que ton copain de tout à l'heure soit dans un train en mouvement et souhaite mesurer la taille de son compartiment avec un mètre. Il pose son mètre x' fois et pense donc que sa longueur est x' mètres. Toi qui est immobile, tu sais qu'il débloque complètement car il utilise en fait un règle raccourcie à cause de sa vitesse de déplacement v. Pour toi, le bout de la règle tenue par ton copain est donc à une distance x:

car pendant le temps t, ton copain s'est éloigné de toi de la distance vt.C'est la première équation de Lorentz qui s'identifie à celle de Galilée x' = x - vt lorsque b ~ 1, c'est-à-dire lorsque v/c << 1.

Si les règles en mouvement raccourcissent, les horloges pour leur part ralentissent et on doit donc pouvoir écrire une relation du type:
t = t'/b + a×(vx), car tu dois retrouver la transformation de Galilée t = t' lorsque v ® 0. Pour que le produit a×(vx) soit homogène à un temps, il faut que la constante a soit homogène à l'inverse du carré d'une vitesse. Le facteur b faisant intervenir la vitesse de la lumière c, il y a de forte chances que a = 1/c2, ce qui te donnes la dernière équation de Lorentz:

Les deux dernières équations de Galilée restent inchangées: y' = y et z' = z, puisque le mouvement est supposé n'avoir lieu que dans la direction de l'axe des x. S'il avait lieu dans la direction de l'axe des y ou z, on aurait bien évidemment x' = x et la contraction porterait sur la coordonnée y ou z. Il est bon de savoir que cette transformation de Lorentz fut initialement, non pas dérivée du principe de relativité, comme tu viens de le faire ici, mais déduite des lois de Maxwell sur l'électromagnétisme. Il s'agit donc d'une loi de transformation extrêmement fondamentale, trouvant sa source dans la structure même de notre univers spatio-temporel.

La théorie de la relativité s'exprime au mieux dans un espace-temps de nature quadrimensionnel (3 coordonnées d'espace et une de temps) où temps et espace se mélangent intimement. La coordonnée temporelle est toutefois très différente des 3 autres car elle fait intervenir le nombre complexe i, tel que i2 = -1. Pour le comprendre, tu vas réécrire la transformation de Lorentz sous une autre forme qui te seras utile si tu souhaites appréhender la notion de spin. Transformes pour cela la coordonnée de temps t en une coordonnée d'espace en la multipliant par la vitesse de la lumière c:

Le facteur i est ici important car il te permet de changer le signe de la coordonnée x intervenant dans u'. Pourquoi un tel changement de signe? Eh bien tout simplement parce qu'il maintenant possible d'écrire la transformation de Lorentz sous la forme suivante:

qui est l'expression même d'une rotation des axes x et t d'un angle q fonction de la vitesse de déplacement v. Plus tu ton copain va vite par rapport à toi, plus son axe temporel s'écarte du tien, et vous ne devenez plus d'accord sur la mesure du temps. Une seconde pour lui devient un éternité pour toi, et c'est généralement là où débute tous les bons romans de SF...

undercon.gif (4369 octets)Cette page a été mise à jour le 21/09/99.