Vecteurs

 

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Nombres complexes

Ne t'énerves donc pas, un vecteur n'est pas quelque chose de si compliqué après tout. Bien sûr, je sais que tu préfères les grandeurs scalaires comme le temps t. Seulement voilà, la vitesse ou la position ne sont pas comme le temps, car il faut la donnée de 3 nombres pour définir sa valeur. C'est la raison pour laquelle tu verras parfois apparaître au gré des pages des petites flèches au dessus de certaines lettres. Ces flèches ne sont pas là pour le décor, mais simplement pour te rappeler qu'il s'agit en fait de trois nombres indépendants. Si ceci te sembles encore trop abstrait, songes que la présence d'une flèche est en fait un hyper-lien vers ta mémoire qui doit réagir en te faisant visualiser mentalement trois relations là où tes yeux n'en voit qu'une seule. Par exemple l'impulsion qui est directement proportionelle à la vitesse est forcément aussi un vecteur puisque la vitesse en est un elle même. Pas grave! Si tu vois une petite flèche sur la lettre p ou v, la traduction doit être immédiate:

C'est tout simplement trois fois la même chose, une fois pour la direction gauche/droite (axe x), une fois pour la direction bas/haut (axe y) et une dernière fois pour la direction derrière/devant (axe z). En fait la plupart du temps il suffit de raisonner sur une seule composante (x en général) et une fois le raisonnement terminé tu diras: "bon pour y et z c'est pareil!!!". Mais parfois aussi le caractère vectoriel d'une grandeur devra absolument être pris en compte. Pour ce qui concerne ce site l'emploi de vecteurs a été limité à son strict minimum afin de ne pas te mettre mal à l'aise si tu n'aimes pas trop cette notion.

L'amalgame que feras souvent entre quantités scalaires et vectorielles provient du fait qu'on peut toujours obtenir une quantité scalaire à partir d'une quantité vectorielle, en utilisant ce bon vieux théorème de Pythagore. Ainsi si la position est une quantité vectorielle, la distance r qui sépare
cette position de l'origine est une quantité scalaire:

Le fait qu'il n'y ait aucune différence au niveau du contenu dimensionnel entre le vecteur (3 nombres) et sa longueur (1 seul nombre) ajoute sûrement encore à la confusion. Sois donc vigilant à la présence ou à l'absence d'une flèche sur une quantité que tu sais être vectorielle. Sa présence signifie que l'on parle du vecteur (3 composantes), tandis
que son absence signifie que l'on parle soit de sa longueur (1 seule valeur égale à la racine carrée de la somme des carrés des trois composantes), soit de sa valeur dans une seule direction de l'espace.

Il existe deux façons très différentes de multiplier les vecteurs. La plus simple s'appelle le produit scalaire et se symbolise par un point placé entre les deux vecteurs. Cela signifie qu'il faut écrire deux colonnes de nombres et
faire tout simplement les produits des composantes ligne par ligne tout en additionnant les résultats obtenus:

Le résultat n'est donc pas un vecteur comme précédemment mais plutôt un nombre scalaire numériquement égal au produit des longueurs des deux vecteurs par le cosinus de l'angle q que font ces deux vecteurs. L'énergie est un bon exemple de scalaire obtenu en multipliant le vecteur force par le vecteur déplacement.

L'autre manière symbolisée par le signe × permet partant de deux vecteurs quelconques, d'obtenir un troisième vecteur perpendiculaire aux deux premiers et formant un trièdre direct (orientation du troisième vecteur donnée par la règle des trois doigts de la main droite). Ici, les vecteurs sont de nouveau écrits sous la forme des deux colonnes, mais il faut prendre bien soin de mettre sur la gauche la colonne représentant le vecteur plaçé à gauche du signe × et sur la droite, la colonne représentant le vecteur plaçé à droite du signe ×. Pour obtenir la composante x du nouveau vecteur, tu caches la ligne x, multiplies le nombre de gauche juste en dessous (Ay) par le nombre de droite situé en diagonale (Bz) et soustraies le produit de l'autre diagonale (Az×By). Pour les composante y ou z tu recommences la même opération, mais en cachant les lignes y et z au lieu de la ligne x. Le résultat est le suivant:

La longueur d du vecteur obtenu est égale au produit des longueurs a et b des deux vecteurs multiplié par le sinus origine par le module du vecteur impulsion, que multiplie le sinus de l'angle q dont il faut tourner le vecteur A pour l'amener sur le vecteur B: d = a×b×sin q. C'est ainsi que le moment angulaire s'obtient en faisant le produit vectoriel du vecteur position par le vecteur impulsion. Contrairement au produit scalaire, le produit scalaire est orienté:


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Entre les nombres à une dimension (scalaires) et les nombres à 3 dimensions (vecteurs), il existe évidemment des nombres à 2 dimensions, appelés nombres complexes, qui sont très pratiques pour résoudre certains problèmes mathématiques ou physiques.

undercon.gif (4369 octets)Cette page a été mise à jour le 22/09/99.